Como funciona
O que a fórmula de Bhaskara faz
Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0. A fórmula de Bhaskara (conhecida como "fórmula resolvente" em Portugal e como "quadratic formula" em inglês) devolve em um único passo todos os valores de x que satisfazem a equação. O nome é uma homenagem ao matemático indiano Bhāskara II, do século XII.
Funciona com coeficientes inteiros, decimais ou literais — por isso bate a fatoração como ferramenta geral. Nossa calculadora recebe a, b e c e mostra o discriminante, as duas raízes e a forma fatorada.
A fórmula, passo a passo
- Passo 1 — escreva ax² + bx + c = 0 com 0 no lado direito.
- Passo 2 — leia a, b, c.
- Passo 3 — calcule o discriminante Δ = b² − 4ac.
- Passo 4 — se Δ < 0, raízes complexas: x = (−b ± i√|Δ|) / 2a.
- Passo 5 — senão, aplique x = (−b ± √Δ) / 2a para obter as duas raízes reais.
Três exemplos resolvidos
1. Duas raízes reais distintas — x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6.
Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
x = (5 ± √1) / 2 → x₁ = 3, x₂ = 2.
Conferência por fatoração: (x − 2)(x − 3) = 0. ✓
2. Raiz dupla — x² − 6x + 9 = 0
a = 1, b = −6, c = 9.
Δ = 36 − 36 = 0 → uma única raiz real.
x = 6 / 2 = 3 (multiplicidade 2). A parábola toca o eixo x em um ponto.
3. Raízes complexas — x² + 2x + 5 = 0
a = 1, b = 2, c = 5.
Δ = 4 − 20 = −16 → sem raízes reais.
x = (−2 ± √−16) / 2 = −1 ± 2i. A parábola fica toda acima do eixo x.
O que o discriminante revela
- Δ > 0 — duas raízes reais distintas; a parábola cruza o eixo x duas vezes.
- Δ = 0 — uma raiz real (dupla); a parábola tangencia o eixo x.
- Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas; parábola não toca o eixo x.
- Vértice — a abscissa do mínimo/máximo é x = −b/2a, independente de Δ.
- Soma e produto (Relações de Girard): x₁ + x₂ = −b/a e x₁ × x₂ = c/a. Ótimo para conferência rápida.
Quando fatorar e quando usar Bhaskara
Fatorar é mais rápido quando a, b, c são inteiros pequenos e as raízes são óbvias (x² − 7x + 12). Bhaskara ganha quando os coeficientes são "feios", as raízes envolvem radicais ou você precisa da resposta em código.
Completar o quadrado fica no meio — e é a técnica usada para derivar a fórmula de Bhaskara, sempre pedida em provas de vestibular.
Aplicações no mundo real
- Lançamento oblíquo — h(t) = h₀ + v₀t − ½gt² é quadrática em t; resolver h = 0 diz quando o projétil cai.
- Maximizar lucro — receita − custo costuma ser parábola com concavidade para baixo; o vértice dá o preço ótimo.
- Problemas de área — "retângulo com perímetro 40 m e área 96 m²" vira x(20 − x) = 96, equação do 2º grau.
- Física / engenharia — frequência de ressonância, circuitos LC, amortecimento RLC — todos quadráticos.
Combina bem com
- **Teorema de Pitágoras** — triângulos retângulos geralmente caem em Bhaskara.
- **Potenciação** — potências aparecem em todas as deduções.
- **MDC** — útil para simplificar radicais.
- **Regra de três** — checagem proporcional rápida.
Como verificamos
Cada execução recomputa as duas raízes, substitui na equação original e mede o resíduo — se |ax² + bx + c| > 10⁻⁹ avisamos. Referências: SBM (OBMEP), livros-texto de ensino médio e CRC Standard Mathematical Tables. Veja política editorial e política de correções. Todo cálculo roda no navegador.